ฟังก์ชันขั้นบันได

ฟังก์ชันขั้นบันได

ฟังก์ชันขั้นบันได (Step Function)     ฟังก์ชันขั้นบันได หมายถึงฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริงและมีค่าของฟังก์ชันเป็นค่าคงตัวเป็นช่วงๆ มากกว่าสองช่วงกราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะคล้ายขั้น  บันได              กราฟของฟังก์ชันนี้จะมีรูปร่างคล้ายขั้นบันได   นิยาม ฟังก์ชัน f : R → R จะเรียกว่าฟังก์ชันขั้นบันได ถ้าฟังก์ชัน fสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้  สำหรับทุกจำนวนจริง x เมื่อ n ≥ 0, αi เป็นจำนวนจริง (ค่าคงตัว), Ai คือช่วงต่าง ๆ และ χA คือฟังก์ชันบ่งชี้  (indicator function) ของช่วง Aนั่นคือ ในนิยามเช่นนี้ ช่วง Ai ต่าง ๆ จะต้องมีสมบัติที่สมมติขึ้นสองประการดังนี้ ช่วงต่าง ๆ จะต้องไม่มีส่วนร่วมต่อกัน นั่นคือ Ai ∩ Aj = ∅ โดยที่ i ≠ j ยูเนียนของช่วงทุกช่วง คือเซตจำนวนจริงทั้งเซต นั่นคือ ∪i Ai = R ในกรณีที่สมบัติของฟังก์ชันเริ่มต้นไม่เป็นไปตามข้อสันนิษฐาน เช่นช่วงซ้อนกัน หรือยูเนียนแล้วแต่ไม่ครบเซต จำนวนจริง เราอาจเลือกช่วงใหม่ที่เทียบเท่าอันทำให้มีสมบัติดังกล่าวได้ ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ฟังก์ชันขั้นบันไดนี้ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น สมบัติ ผลรวมและผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดสองฟังก์ชัน จะให้ผลเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดอีกฟังก์ชันหนึ่ง  และผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดกับจำนวนคงตัวก็ยังคงเป็นฟังก์ชันขั้นบันได จากกรณีทั้งสองทำให้ ฟังก์ชันขั้นบันไดก่อร่างพีชคณิตขึ้นมาเหนือจำนวนจริง ฟังก์ชันขั้นบันไดมีจำนวนช่วงเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้น ถ้าช่วง Ai ต่าง ๆ  ซึ่ง i = 0, 1, …, n ตามนิยามข้างต้นไม่ทับซ้อนซึ่งกันและกัน และยูเนียนของช่วงทั้งหมดเป็นจำนวนจริง  จะได้ว่า f (x) = αi สำหรับทุกค่าของ x ∈ Ai ปริพันธ์เลอเบกของฟังก์ชันขั้นบันได  คือ   เมื่อ  คือความยาวของช่วง A และในกรณีนี้เราสมมติว่าช่วง Ai ทั้งหมดมีความยาวจำกัด  ข้อเท็จจริงคือความเท่ากันนี้สามารถใช้เป็นขั้นตอนแรกในการหาปริพันธ์เลอเบก [1] สมบัติ ผลรวมและผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดสองฟังก์ชัน จะให้ผลเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดอีกฟังก์ชันหนึ่ง และผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดกับจำนวนคงตัวก็ยังคงเป็นฟังก์ชันขั้นบันได จากกรณีทั้งสองทำให้ฟังก์ชันขั้นบันไดก่อร่าง พีชคณิตขึ้นมาเหนือจำนวนจริงฟังก์ชันขั้นบันไดมีจำนวนช่วงเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้น ถ้าช่วง Ai ต่าง ๆ ซึ่ง i = 0, 1, …, n  ตามนิยามข้างต้นไม่ทับซ้อนซึ่งกันและกัน และยูเนียนของช่วงทั้งหมดเป็นจำนวนจริง จะได้ว่า f (x) = αi สำหรับทุกค่าของ x ∈ Aiปริพันธ์เลอเบกของฟังก์ชันขั้นบันได  คือ  เมื่อ   คือความยาวของช่วง A และในกรณีนี้เราสมมติว่าช่วง Ai ทั้งหมดมีความยาวจำกัด ข้อเท็จจริงคือความเท่ากันนี้สามารถใช้เป็นขั้นตอนแรกในการหาปริพันธ์เลอเบก [1] ตัวอย่าง กราฟของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก ฟังก์ชันคงตัวเป็นตัวอย่างอย่างง่ายของฟังก์ชันขั้นบันได ซึ่งประกอบด้วยช่วงเพียงช่วงเดียวคือ A0 = R ฟังก์ชันเฮฟวีไซด์ (Heaviside function) เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งที่สำคัญ เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังการทดสอบ สัญญาณไฟฟ้า เช่นที่ใช้ในการตอบสนองขั้นบันไดของระบบพลวัต ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangular function) ซึ่งเป็นฟังก์ชันรถตู้แบบบรรทัดฐาน (normalized boxcar function) เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันขั้นบันได ใช้เพื่อเป็นแบบจำลองของพัลส์หนึ่ง